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23 | 二叉树基础（上）：什么样的二叉树适合用数组来存储？

23 | 二叉树基础（上）：什么样的二叉树适合用数组来存储？-极客时间

23 | 二叉树基础（上）：什么样的二叉树适合用数组来存储？

2018-11-12 王争 来自北京
《数据结构与算法之美》
课程介绍

讲述：冯永吉

时长10:51大小9.92M

前面我们讲的都是线性表结构，栈、队列等等。今天我们讲一种非线性表结构，树。树这种数据结构比线性表的数据结构要复杂得多，内容也比较多，所以我会分四节来讲解。
我反复强调过，带着问题学习，是最有效的学习方式之一，所以在正式的内容开始之前，我还是给你出一道思考题：二叉树有哪几种存储方式？什么样的二叉树适合用数组来存储？
带着这些问题，我们就来学习今天的内容，树！

树（Tree）

我们首先来看，什么是“树”？再完备的定义，都没有图直观。所以我在图中画了几棵“树”。你来看看，这些“树”都有什么特征？
你有没有发现，“树”这种数据结构真的很像我们现实生活中的“树”，这里面每个元素我们叫做“节点”；用来连接相邻节点之间的关系，我们叫做“父子关系”。
比如下面这幅图，A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的节点叫做根节点，也就是图中的节点 E。我们把没有子节点的节点叫做叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。
除此之外，关于“树”，还有三个比较相似的概念：高度（Height）、深度（Depth）、层（Level）。它们的定义是这样的：
这三个概念的定义比较容易混淆，描述起来也比较空洞。我举个例子说明一下，你一看应该就能明白。
记这几个概念，我还有一个小窍门，就是类比“高度”“深度”“层”这几个名词在生活中的含义。
在我们的生活中，“高度”这个概念，其实就是从下往上度量，比如我们要度量第 10 层楼的高度、第 13 层楼的高度，起点都是地面。所以，树这种数据结构的高度也是一样，从最底层开始计数，并且计数的起点是 0。
“深度”这个概念在生活中是从上往下度量的，比如水中鱼的深度，是从水平面开始度量的。所以，树这种数据结构的深度也是类似的，从根结点开始度量，并且计数起点也是 0。
“层数”跟深度的计算类似，不过，计数起点是 1，也就是说根节点位于第 1 层。

二叉树（Binary Tree）

树结构多种多样，不过我们最常用还是二叉树。
二叉树，顾名思义，每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别是左子节点和右子节点。不过，二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点。我画的这几个都是二叉树。以此类推，你可以想象一下四叉树、八叉树长什么样子。
这个图里面，有两个比较特殊的二叉树，分别是编号 2 和编号 3 这两个。
其中，编号 2 的二叉树中，叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫做满二叉树。
编号 3 的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。
满二叉树很好理解，也很好识别，但是完全二叉树，有的人可能就分不清了。我画了几个完全二叉树和非完全二叉树的例子，你可以对比着看看。
你可能会说，满二叉树的特征非常明显，我们把它单独拎出来讲，这个可以理解。但是完全二叉树的特征不怎么明显啊，单从长相上来看，完全二叉树并没有特别特殊的地方啊，更像是“芸芸众树”中的一种。
那我们为什么还要特意把它拎出来讲呢？为什么偏偏把最后一层的叶子节点靠左排列的叫完全二叉树？如果靠右排列就不能叫完全二叉树了吗？这个定义的由来或者说目的在哪里？
要理解完全二叉树定义的由来，我们需要先了解，如何表示（或者存储）一棵二叉树？
想要存储一棵二叉树，我们有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。
我们先来看比较简单、直观的链式存储法。从图中你应该可以很清楚地看到，每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式我们比较常用。大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。
我们再来看，基于数组的顺序存储法。我们把根节点存储在下标 i = 1 的位置，那左子节点存储在下标 2 * i = 2 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此类推，B 节点的左子节点存储在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子节点存储在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。
我来总结一下，如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。
不过，我刚刚举的例子是一棵完全二叉树，所以仅仅“浪费”了一个下标为 0 的存储位置。如果是非完全二叉树，其实会浪费比较多的数组存储空间。你可以看我举的下面这个例子。
所以，如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。
当我们讲到堆和堆排序的时候，你会发现，堆其实就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是数组。

二叉树的遍历

前面我讲了二叉树的基本定义和存储方法，现在我们来看二叉树中非常重要的操作，二叉树的遍历。这也是非常常见的面试题。
如何将所有节点都遍历打印出来呢？经典的方法有三种，前序遍历、中序遍历和后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。
前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。
实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。比如，前序遍历，其实就是先打印根节点，然后再递归地打印左子树，最后递归地打印右子树。
写递归代码的关键，就是看能不能写出递推公式，而写递推公式的关键就是，如果要解决问题 A，就假设子问题 B、C 已经解决，然后再来看如何利用 B、C 来解决 A。所以，我们可以把前、中、后序遍历的递推公式都写出来。
前序遍历的递推公式：
preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
中序遍历的递推公式：
inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
后序遍历的递推公式：
postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
有了递推公式，代码写起来就简单多了。这三种遍历方式的代码，我都写出来了，你可以看看。
void preOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
void inOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
inOrder(root->left);
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
inOrder(root->right);
}
void postOrder(Node* root) {
if (root == null) return;
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
print root // 此处为伪代码，表示打印root节点
}
二叉树的前、中、后序遍历的递归实现是不是很简单？你知道二叉树遍历的时间复杂度是多少吗？我们一起来看看。
从我前面画的前、中、后序遍历的顺序图，可以看出来，每个节点最多会被访问两次，所以遍历操作的时间复杂度，跟节点的个数 n 成正比，也就是说二叉树遍历的时间复杂度是 O(n)。

解答开篇 & 内容小结

今天，我讲了一种非线性表数据结构，树。关于树，有几个比较常用的概念你需要掌握，那就是：根节点、叶子节点、父节点、子节点、兄弟节点，还有节点的高度、深度、层数，以及树的高度。
我们平时最常用的树就是二叉树。二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。二叉树中，有两种比较特殊的树，分别是满二叉树和完全二叉树。满二叉树又是完全二叉树的一种特殊情况。
二叉树既可以用链式存储，也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树，其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外，二叉树里非常重要的操作就是前、中、后序遍历操作，遍历的时间复杂度是 O(n)，你需要理解并能用递归代码来实现。

课后思考

给定一组数据，比如 1，3，5，6，9，10。你来算算，可以构建出多少种不同的二叉树？
我们讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另外一种遍历方式，也就是按层遍历，你知道如何实现吗？
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提建议

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精选留言(246)

  • meng
    2018-11-18
    关于问题1，如果是完全二叉树，老师说过可以放在数组里面，那么问题是否 可以简化为数组内的元素有多少种组合方式，这样的话，就是 n!，不知是否可以这样理解 ？

    作者回复: 👍

    共 28 条评论
    549
  • 失火的夏天
    2018-11-12
    1.是卡特兰数，是C[n,2n] / (n+1)种形状，c是组合数，节点的不同又是一个全排列，一共就是n!*C[n,2n] / (n+1)个二叉树。可以通过数学归纳法推导得出。 2.层次遍历需要借助队列这样一个辅助数据结构。（其实也可以不用，这样就要自己手动去处理节点的关系，代码不太好理解，好处就是空间复杂度是o(1)。不过用队列比较好理解，缺点就是空间复杂度是o(n)）。根节点先入队列，然后队列不空，取出对头元素，如果左孩子存在就入列队，否则什么也不做，右孩子同理。直到队列为空，则表示树层次遍历结束。树的层次遍历，其实也是一个广度优先的遍历算法。
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    共 24 条评论
    257
  • Jerry银银
    2018-11-18
    第一题： 确定两点： 1）n个数，即n个节点，能构造出多少种不同形态的树？ 2）n个数，有多少种不同的排列？ 当确定以上两点，将【1)的结果】乘以 【2)的结果】，即为最终的结果。 但是有一个注意的点： 如果n中有相等的数，产生的总排列数就不是n！了哟 通过这一题，我学到了【卡塔兰数】：https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number 第二题： 层序遍历，借用队列辅助即可，根节点先入队列，然后循环从队列中pop节点，将pop出来的节点的左子节点先入队列，右节点后入队列，依次循环，直到队列为空，遍历结束。 leetcode上有个类似的题目，链接为：https://leetcode.com/problems/binary-tree-level-order-traversal/ Java代码如下： /** * Definition for a binary tree node. * public class TreeNode { * int val; * TreeNode left; * TreeNode right; * TreeNode(int x) { val = x; } * } */ class Solution { public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) { if (root == null) return new ArrayList<>(0); List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<TreeNode>(); queue.offer(root); Queue<TreeNode> curLevelNodes = new LinkedList<TreeNode>(); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode node = queue.poll(); curLevelNodes.offer(node); if (queue.isEmpty()) { List<Integer> list = new ArrayList<>(curLevelNodes.size()); while (!curLevelNodes.isEmpty()) { TreeNode curNode = curLevelNodes.poll(); list.add(curNode.val); if (curNode.left != null) { queue.offer(curNode.left); } if (curNode.right != null) { queue.offer(curNode.right); } } result.add(list); } } return result; } }
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    共 5 条评论
    152
  • 言志
    2018-11-21
    1、既然是数组了，说明是完全二叉树，应该有n的阶乘个组合。 2、二叉树按层遍历，可以看作以根结点为起点，图的广度优先遍历的问题。

    作者回复: 👍

    共 4 条评论
    117
  • Renext
    2019-04-28
    我看评论有人误解 文章所说的 完全二叉树--“最后一层的叶子节点都靠左排列。”然而图例中 I 节点明明是右节点，怎么就被称作完全二叉树？其实刚开始我也理解错了。这里说的 “最后一层的叶子节点都靠左排列”不是最后一层的子节点是左节点，而是指最后一层的子节点，从 左数到右是连续，中间没有断开，缺少节点（如图例H、I、J是连续的）。结合下文所说的基于数组的顺序存储法，可以知道完全二叉树是不会浪费内存的。其实简单理解，完全是为了省内存而提出这样的概念
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    共 10 条评论
    98
  • 姜威
    2018-11-24
    树，总共包含4节内容。具体如下： 1.树、二叉树 2.二叉查找树 3.平衡二叉树、红黑树 4.递归树 一、树 1.树的常用概念 根节点、叶子节点、父节点、子节点、兄弟节点，还有节点的高度、深度以及层数，树的高度。 2.概念解释 节点：树中的每个元素称为节点 父子关系：相邻两节点的连线，称为父子关系 根节点：没有父节点的节点 叶子节点：没有子节点的节点 父节点：指向子节点的节点 子节点：被父节点指向的节点 兄弟节点：具有相同父节点的多个节点称为兄弟节点关系 节点的高度：节点到叶子节点的最长路径所包含的边数 节点的深度：根节点到节点的路径所包含的边数 节点的层数：节点的深度+1（根节点的层数是1） 树的高度：等于根节点的高度 二、二叉树 1.概念 ①什么是二叉树？ 每个节点最多只有2个子节点的树，这两个节点分别是左子节点和右子节点。 ②什么是满二叉树？ 有一种二叉树，除了叶子节点外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做满二叉树。 ③什么是完全二叉树？ 有一种二叉树，叶子节点都在最底下两层，最后一层叶子节都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。 2.完全二叉树的存储 ①链式存储 每个节点由3个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式比较常用，大部分二叉树代码都是通过这种方式实现的。 ②顺序存储 用数组来存储，对于完全二叉树，如果节点X存储在数组中的下标为i，那么它的左子节点的存储下标为2*i，右子节点的下标为2*i+1，反过来，下标i/2位置存储的就是该节点的父节点。注意，根节点存储在下标为1的位置。完全二叉树用数组来存储时最省内存的方式。 3.二叉树的遍历 ①前序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。 ②中序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的本身，最后打印它的右子树。 ③后序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印它本身。 前序遍历的递推公式： preOrder(r) = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right) 中序遍历的递推公式： inOrder(r) = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right) 后序遍历的递推公式： postOrder(r) = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r 时间复杂度：3种遍历方式中，每个节点最多会被访问2次，所以时间复杂度是O(n)。 三、思考 1.二叉树有哪几种存储方式？什么样的二叉树适合用数组来存储？ 2.给定一组数据，比如1，3，5，6，9，10.你来算算，可以构建出多少种不同的二叉树？ 3.我们讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另一种遍历方式，也就是按层遍历，你知道如何实现吗？ 4.如何用循环实现二叉树的遍历？
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    共 13 条评论
    65
  • Laughing_Lz
    2018-11-30
    /** * 层次遍历二叉树 * * @param root */ public static void levelOrder(Node root) { if (root == null) { return; } LinkedList<Node> queue = new LinkedList<Node>(); queue.add(root); while (!queue.isEmpty()) { Node currentNode = queue.poll(); System.out.print(currentNode.getValue() + " "); if (currentNode.getLeft() != null) { queue.add(currentNode.getLeft()); } if (currentNode.getRight() != null) { queue.add(currentNode.getRight()); } } }
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    共 5 条评论
    49
  • 天二
    2019-01-21
    老师 你在计算便利二叉树时间复杂度的时候说，“从我前面画的前、中、后序遍历的顺序图，可以看出来，每个节点最多会被访问两次”， 我想知道都是哪两次呢？ 可否帮忙解惑，从图中没看出来

    作者回复: 第一次遍历到的时候算一次。递归返回的时候再一次。不过，这些说法都很笼统，你只要知道每个节点都被访问了一次，并且被访问的次数是常数次就可以了。

    42
  • 痛改前非
    2018-11-21
    现在评论的小伙伴少了好多，坚持学习的小伙伴是不是越来越少了？大家的热情呢？💪

    作者回复: 有些人学得慢 或者工作耽搁了。一直追着最新的看的不多

    共 13 条评论
    35
  • 涂
    2019-03-15
    前、中、后序遍历，主要是针对父节点的打印顺序。父左右为前序，左父右为中序，左右父为后序
    共 5 条评论
    30
  • 筑梦
    2020-06-28
    笔试常见练习题 leetcode：94、105、106、889
    23
  • 极明
    2019-02-05
    感谢老师让我明白了为什么需要完全二叉树
    21
  • Liam
    2018-11-12
    1 递归地理解一下：按住根节点，如果有k个左节点，则有n-k-1个右节点，分步乘法，f(n) = f(k) * f(n - k - 1) ，k可能性从0 到 n - 1 ,分步加法： f(n) = f(0)f(n-1) + ... + f(n-1)f(0) ，怎么计算该递推公式呢？参考Catalon数
    18
  • 明翼
    2018-12-16
    我看很多人计算第一题都按照完全二叉树计算的，实际上并没有说完全二叉树，所以n阶乘肯定不对吧，只要是二叉树按照文中规则肯定可以按照数组存储，六个数字，前面五个数字最多浪费四个位置加上本身存储五个就是九个位置，然后六可以浪费一个，那就是一共十个位置，六个数字，有多少种放法就有多少种二叉树。
    共 2 条评论
    17
  • Jamin
    2019-01-23
    关于树的高度和深度 目前没有统一的规范，有的是从0开始计算，有的是从1开始

    作者回复: 那就按照我的来吧：）我觉得我定义的很有道理：）

    共 3 条评论
    15
  • 星君
    2018-11-28
    应该讲讲非递归遍历啊，递归遍历太简单，后序非递归遍历才是难点

    作者回复: 专栏有自己的定位的 太难没啥用的 不怎么会讲的 自己研究吧

    共 3 条评论
    14
  • 虎爷
    2019-06-18
    父子兄跟叶 高深共几层 抬头看天空 低头探深坑 敢问何处去 此处落几层 高度（抬头看天空，站在地平面。所以0开始） 深度（低头探深坑，站在地平面。所以0开始） 层数（此处落几层，站在这层楼，所以1开始）
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    共 3 条评论
    13
  • kakasi
    2018-11-26
    思考题： 1. 一组数能构建多少个二叉树？ 第一时间想到只要排列位置有改变，那么就应该是新的二叉树。组合排列的公式有点忘记了。。。那么用笨方法： 当只有1个数的时候，能构建1个二叉树；2个数时是2个二叉树；3个数有6个二叉树；再看下4个数，原来是24个；最后得出n! 2. 层序遍历二叉树： 数组和链表的方式都一样。先打印本身的数据，然后将左右节点塞到一个队列中；从队列里取第一个节点打印数据，并将其左右节点再塞到队列，以此类推。
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    共 3 条评论
    9
  • talk is cheap！
    2019-05-06
    老师，完全二叉树把最底一层去掉，是不是就是一颗满二叉树呢？

    作者回复: 是的 没错

    7
  • 二进制之路
    2020-02-18
    一篇总结二叉树的4种遍历方式（含迭代和递归模板）。 包括3种深度优先搜索（DFS）和1种广度优先搜索（BFS）。 https://mp.weixin.qq.com/s/0b5OsnFLLg18Td4CuR51_Q
    共 1 条评论
    6