07 | 排列:如何让计算机学会“田忌赛马”?
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07 | 排列:如何让计算机学会“田忌赛马”?
2018-12-28 黄申 来自北京
《程序员的数学基础课》
课程介绍
讲述:黄申
时长11:08大小10.17M
你好,我是黄申。
“田忌赛马”的故事我想你肯定听过吧?田忌是齐国有名的将领,他常常和齐王赛马,可是总是败下阵来,心中非常不悦。孙膑想帮田忌一把。他把这些马分为上、中、下三等。他让田忌用自己的下等马来应战齐王的上等马,用上等马应战齐王的中等马,用中等马应战齐王的下等马。三场比赛结束后,田忌只输了第一场,赢了后面两场,最终赢得与齐王的整场比赛。
孙膑每次都从田忌的马匹中挑选出一匹,一共进行三次,排列出战的顺序。是不是感觉这个过程很熟悉?这其实就是数学中的排列过程。
我们初高中的时候,都学过排列,它的概念是这么说的:从 n 个不同的元素中取出 m(1≤m≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,这个过程就叫排列(Permutation)。当 m=n 这种特殊情况出现的时候,比如说,在田忌赛马的故事中,田忌的三匹马必须全部出战,这就是全排列(All Permutation)。
如果选择出的这 m 个元素可以有重复的,这样的排列就是为重复排列(Permutation with Repetition),否则就是不重复排列(Permutation without Repetition)。
看出来没有?这其实是一个树状结构。从树的根结点到叶子结点,每种路径都是一种排列。有多少个叶子结点就有多少种全排列。从图中我们可以看出,最终叶子结点的数量是 3x2x1=6,所以最终排列的数量为 6。
我用 t1,t2 和 t3 分别表示田忌的上、中、下等马跑完全程所需的时间,用 q1,q2 和 q3 分别表示齐王的上、中、下等马跑全程所需的时间,因此,q1<t1<q2<t2<q3<t3。
如果你将这些可能的排列,仔细地和齐王的上等、中等和下等马进行对比,只有{下等,上等,中等}这一种可能战胜齐王,也就是 t3>q1,t1<q2,t2<q3。
对于最终排列的数量,这里我再推广一下:
对于 n 个元素的全排列,所有可能的排列数量就是 nx(n-1)x(n-2)x…x2x1,也就是 n!;
对于 n 个元素里取出 m(0<m≤n) 个元素的不重复排列数量是 nx(n-1)x(n-2)x…x(n - m + 1),也就是 n!/(n-m)!。
这两点都是可以用数学归纳法证明的,有兴趣的话你可以自己尝试一下。
如何让计算机为田忌安排赛马?
我们刚才讨论了 3 匹马的情况,这倒还好。可是,如果有 30 匹马、300 匹马,怎么办?30 的阶乘已经是天文数字了。更糟糕的是,如果两组马之间的速度关系也是非常随机的,例如 q1<q2<t1<t2<q3<t3, 那就不能再使用“最差的马和对方最好的马比赛”这种战术了。这个时候,人手动肯定是算不过来了,计算机又要帮我们大忙啦!我们使用代码来展示如何生成所有的排列。
如果你细心的话,就会发现在新版舍罕王赏麦的案例中,其实已经涉及了排列的思想,不过那个案例不是以“选取多少个元素”为终止条件,而是以“选取元素的总和”为终止条件。尽管这样,我们仍然可以使用递归的方式来快速地实现排列。
不过,要把田忌赛马的案例,转成计算机所能理解的内容,还需要额外下点功夫。
首先,在不同的选马阶段,我们都要保存已经有几匹马出战、它们的排列顺序、以及还剩几匹马没有选择。我使用变量 result 来存储到当前函数操作之前,已经出战的马匹及其排列顺序。而变量 horses 存储了到当前函数操作之前,还剩几匹马还没出战。变量 new_result 和 rest_horses 是分别从 result 和 horses 克隆而来,保证不会影响上一次的结果。
其次,孙膑的方法之所以奏效,是因为他看到每一等马中,田忌的马只比齐王的差一点点。如果相差太多,可能就会有不同的胜负结局。所以,在设置马匹跑完全程的时间上,我特意设置为 q1<t1<q2<t2<q3<t3,只有这样才能保证计算机得出和孙膑相同的结论。
另外,我还使用了 compare 的函数来比较田忌和齐王的马匹,看哪方获胜。
下面是测试代码。当然你可以设置更多的马匹,并增加相应的马匹跑完全程的时间。
在最终的输出结果中,6 种排列中只有一种情况是田忌获胜的。
如果田忌不听从孙膑的建议,而是随机的安排马匹出战,那么他只有 1/6 的获胜概率。
说到这里,我突然产生了一个想法,如果齐王也是随机安排他的马匹出战顺序,又会是怎样的结果?如果动手来实现的话,大体思路是我们为田忌和齐王两方都生成他们马匹的全排序,然后再做交叉对比,看哪方获胜。这个交叉对比的过程也是个排列的问题,田忌这边有 6 种顺序,而齐王也是 6 种顺序,所以一共的可能性是 6x6=36 种。
我用代码模拟了一下,你可以看看。
由于交叉对比时只需要选择 2 个元素,分别是田忌的出战顺序和齐王的出战顺序,所以这里使用 2 层循环的嵌套来实现。从最后的结果可以看出,田忌获胜的概率仍然是 1/6。
暴力破解密码如何使用排列思想?
聊了这么多,相信你对排列有了更多了解。在概率中,排列有很大的作用,因为排列会帮助我们列举出随机变量取值的所有可能性,用于生成这个变量的概率分布,之后在概率统计篇我还会具体介绍。此外,排列在计算机领域中有着很多应用场景。我这里讲讲最常见的密码的暴力破解。
我们先来看去年网络安全界的两件大事。第一件发生在 2017 年 5 月,新型“蠕虫”式勒索病毒 WannaCry 爆发。当时这个病毒蔓延得非常迅速,电脑被感染后,其中的文件会被加密锁住,黑客以此会向用户勒索比特币。第二件和美国的信用评级公司 Equifax 有关。仅在 2017 年内,这个公司就被黑客盗取了大约 1.46 亿用户的数据。
看样子,黑客攻击的方式多种多样,手段也高明了很多,但是窃取系统密码仍然是最常用的攻击方式。有时候,黑客们并不需要真的拿到你的密码,而是通过“猜”,也就是列举各种可能的密码,然后逐个地去尝试密码的正确性。如果某个尝试的密码正好和原先管理员设置的一样,那么系统就被破解了。这就是我们常说的暴力破解法。
我们可以假设一个密码是由英文字母组成的,那么每位密码有 52 种选择,也就是大小写字母加在一起的数量。那么,生成 m 位密码的可能性就是 52^m 种。也就是说,从 n(这里 n 为 52)个元素取出 m(0<m≤n)个元素的可重复全排列,总数量为 n^m。如果你遍历并尝试所有的可能性,就能破解密码了。
不过,即使存在这种暴力法,你也不用担心自己的密码很容易被人破解。我们平时需要使用密码登录的网站或者移动端 App 程序,基本上都限定了一定时间内尝试密码的次数,例如 1 天之内只能尝试 5 次等等。这些次数一定远远小于密码排列的可能性。
这也是为什么有些网站或 App 需要你一定使用多种类型的字符来创建密码,比如字母加数字加特殊符号。因为类型越多,n^m 中的 n 越大,可能性就越多。如果使用英文字母的 4 位密码,就有 52^4=7311616 种,超过了 700 万种。如果我们在密码中再加入 0~9 这 10 个阿拉伯数字,那么可能性就是 62^4=14776336 种,超过了 1400 万。
同理,我们也可以增加密码长度,也就是用 n^m 中的 m 来实现这一点。如果在英文和阿拉伯数字的基础上,我们把密码的长度增加到 6 位,那么就是 62^6=56800235584 种,已经超过了 568 亿了!这还没有考虑键盘上的各种特殊符号。有人估算了一下,如果用上全部 256 个 ASCII 码字符,设置长度为 8 的密码,那么一般的黑客需要 10 年左右的时间才能暴力破解这种密码。
小结
排列可以帮助我们生成很多可能性。由于这种特性,排列最多的用途就是穷举法,也就是,列出所有可能的情况,一个一个验证,然后看每种情况是否符合条件的解。
古代的孙膑利用排列的思想,穷举了田忌马匹的各种出战顺序,然后获得了战胜齐王的策略。现代的黑客,通过排列的方法,穷举了各种可能的密码,试图破坏系统的安全性。如果你所面临的问题,它的答案也是各种元素所组成的排列,那么你就可以考虑,有没有可能排列出所有的可能性,然后通过穷举的方式来获得最终的解。
思考题
假设有一个 4 位字母密码,每位密码是 a~e 之间的小写字母。你能否编写一段代码,来暴力破解该密码?(提示:根据可重复排列的规律,生成所有可能的 4 位密码。)
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- alic2018-12-28password = 'bacdce' classes = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e'] def get_password(n, result = ''): if n == 0: if result == password: print(password) else: for i in classes: new_result = copy.copy(result) new_result = new_result + i get_password(n - 1, new_result) get_password(6)展开
作者回复: 可以的👍
共 4 条评论28 - 菩提2018-12-30交作业: public class L7_2 { public static void calLetterList(ArrayList<String> l, ArrayList<String> result) { if (result.size() == l.size()) { System.out.println(result); return; } for (String letter : l) { ArrayList<String> newResult = (ArrayList<String>) result.clone(); newResult.add(letter); calLetterList(l, newResult); } } public static void main(String[] args) { ArrayList<String> l = new ArrayList<>(Arrays.asList("a", "b", "c", "d", "e")); calLetterList(l, new ArrayList<>()); } }展开
作者回复: 很赞
11 - Joe2019-01-09C++形式交作业,好像用list数据结果会方便一点。 /** permutaion: 排列。 * 从n个数中选出m个数的方式,若不考虑顺序Cn(m),若考虑顺序An(m) */ /* 问题:密码排列 * 假设有一个 4 位字母密码,每位密码是 a~e 之间的小写字。 * 编写密码可能排列方式。 */ #include <iostream> #include <vector> using namespace std; class Permutation { private: int resultCount_ = 0; public: /** Details: 根据输入字母列表,获得所有的排列方式。 * params: result- 当前排列形式, candidate- 未排列字母表。 * return: null */ void breakPassword(vector<string> result, vector<string> candidate) { int len = candidate.size(); if (0 == len) { // 无字母剩余,输出排列结果 outputResult(result); resultCount_++; return; } for (int i = 0; i < len; i++) { vector<string> resultNew; vector<string> candidateLeft; // 读取排列字母 resultNew = result; resultNew.push_back(candidate[i]); // 获得剩余字母表 candidateLeft = candidate; vector<string>::iterator it = candidateLeft.begin(); candidateLeft.erase(it + i); // 递归 breakPassword(resultNew, candidateLeft); } } // 输出结果 void outputResult(vector<string> result) { for (unsigned int i = 0; i < result.size(); i++) { cout << result[i]; } cout << endl; } // 获得所有可能密码总数 int getResultCount() { return resultCount_; } }; int main(void) { vector<string> fourAlphabetString = {"a", "b", "c", "d", "e"}; vector<string> res; Permutation test; test.breakPassword(res, fourAlphabetString); cout << "可能的密码形式:"; cout << test.getResultCount() << "种" << endl; }展开
作者回复: c语言确实更简洁👍
9 - qinggeouye2019-02-08python 一、田忌和齐王双方都随机选择马匹出战顺序 import copy # 设置齐王的马跑完所需时间 q_horses_time = {"q1": 1.0, "q2": 2.0, "q3": 3.0} # 设置田忌的马跑完所需时间 t_horses_time = {"t1": 1.5, "t2": 2.5, "t3": 3.5} # 双方均随机选择出战的马匹 q_horses = ["q1", "q2", "q3"] t_horses = ["t1", "t2", "t3"] def permutation(horses, result=None, all_results=None): """ 使用函数的递归(嵌套)调用,找出所有可能的马匹出战顺序 :param all_results: 马匹出战顺序的所有排列(全排列) :param horses: 目前还剩多少马没有出战 :param result: 保存当前已经出战的马匹及顺序(其中一种排列) :return: """ if result is None: result = [] if all_results is None: all_results = [] # 所有马匹都已经出战,返回出战顺序 if len(horses) == 0: all_results.append(result) return for k in range(len(horses)): # 从剩下的未出战马匹中 选择一匹 加入结果 new_result = copy.copy(result) new_result.append(horses[k]) # 将已选择的马匹从未出战的列表中移除 rest_horses = copy.copy(horses) rest_horses.pop(k) # 递归调用 对于剩余的马匹继续生成排列 permutation(rest_horses, new_result, all_results) return all_results def compare(t, q): t_won_cnt = 0 for m in range(len(t)): print(str(t_horses_time.get(t[m])) + ',' + str(q_horses_time.get(q[m]))) if t_horses_time.get(t[m]) < q_horses_time.get(q[m]): t_won_cnt = t_won_cnt + 1 if t_won_cnt > len(t)//2: print("田忌获胜!") else: print("齐王获胜!") if __name__ == '__main__': # 双方均随机安排马匹出战,田忌获胜的概率仍为 1/6 t_results = permutation(t_horses) q_results = permutation(q_horses) print(t_results) print(q_results) for i in range(len(t_results)): for j in range(len(q_results)): compare(t_results[i], q_results[j])展开8
- 罗耀龙@坐忘2020-03-30茶艺师学编程 1、学完这节课要记住的 ●不重复排列 n!/(n-m)! (1≤m≤n) ●不重复全排列 n! ●重复排列 n^m 2、田忌赛马也好,穷举破解法也好,背后的数学原理都是一样的,就是排列。由此我获得两点体会 ●这就是所谓“等价问题”。正因为存在“等价”,才能实现“融会贯通”。 ●正如黄老师所说,在确定好数学的解决办法后,程序的解法也自然出来了。 把这项本领练到极致的话,也许就能像那位高德纳(《计算机程序设计艺术》的作者),总是能用最慢的电脑获得编程大赛的第一名。展开
作者回复: 确实,懂了很多数学原理,算法设计就很简单了,而且效率和质量都会得到提升
6 - Jing2019-04-05//思考题 c#版本 private static char[] _letters = { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' }; public static void GetPassword() { string password = "abded"; CrackPassword(password.Length, new StringBuilder(), password); } private static void CrackPassword(int length, StringBuilder result, string realPsd) { if (length == 0) { if (realPsd.Equals(result.ToString())) { Console.WriteLine("Your password is:" + result.ToString()); } result.Length = 0; return; } else if (length < 0) { return; } for (int i = 0; i < _letters.Length; i++) { StringBuilder temp = new StringBuilder(); temp.Append(result.ToString()); temp.Append(_letters[i]); CrackPassword(length - 1, temp, realPsd); } }展开3
- 瓶子dian2019-01-09var chars = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e'] var result = [] function getPassword(passwordChars, num, password) { if (num == 0) { return result.push(password) } else { for (var i = 0; i < passwordChars.length; i++) { getPassword(passwordChars, num - 1, password + passwordChars[i]) } } } getPassword(chars, 4, '')展开
作者回复: 代码很简洁
共 2 条评论3 - 文刂 氵共 超2018-12-28思考题 - 递归思想-C++ #include <iostream> #include<string> using std::string; using namespace std; void BreakPassword( string Words, int PasswordLen, string result) { if (result.length() == PasswordLen) { //C++中string类型不能直接输出,需加头问题#include<string>,不能用#include<string.h> cout << result << " "; return; } for (int i = 0; i < Words.length(); ++i) { string newResult = result; newResult.insert( newResult.end(), Words[i] ); BreakPassword(Words, PasswordLen, newResult); } } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { int passwordLen = 4; string words("abcde"); string result = ""; BreakPassword(words, passwordLen, result); return 0; }展开3
- alic2018-12-28怎么用递归来求?
作者回复: 具体是指哪道题目?
3 - 毛毛2018-12-28最笨的方法,一个数组A容纳a~e,四个for循环遍历数组A,拼成一个新一维数组B,多个数组B再拼成二维数组,就是最后结果。
作者回复: 密码短的话,循环嵌套就可以了。如果密码很长,或者长度是满足某种条件的,就需要递归
3 - 石佳佳_Gemtra2018-12-28对于 n 个元素里取出 m(0<m≤n) 个元素的重复排列数量是 nxnxnx…xn,也就是 n^m。2
- 上善若水2022-07-06python3 一行解决 answer, = [f"{a}{b}{c}{d}" for a in "abcde" for b in "abcde" for c in "abcde" for d in "abcde" if f"{a}{b}{c}{d}" in password]
作者回复: Python确实很简洁👍
1 - zhaoey2020-10-08思考题: /** 记录总结果数 */ private static int total = 0; /** * 暴力密码破解 * @param codes * @param result */ public static void permutation(ArrayList<String> codes, ArrayList<String> result){ // n = 0 if (result.size() == 4){ total ++; System.out.println(result); return; } for (int i = 0; i < codes.size(); i++) { // 取出一个字母添加到排列中 ArrayList<String> newResult = (ArrayList)result.clone(); newResult.add(codes.get(i)); // 递归调用,继续生成排列 permutation(codes,newResult); } } public static void main(String[] args) { ArrayList<String> codes = new ArrayList<>(Arrays.asList("a","b","c","d","e")); permutation(codes,new ArrayList<>()); System.out.println("总结果数:"+total); } # 输出结果 [a, a, a, a] [a, a, a, b] .... [e, e, e, d] [e, e, e, e] 总结果数:625展开1
- Mr.L2020-05-07class decode: def __init__(self, secret): self.secret = secret def decode_s(self, result): if result == self.secret: print('The secret is:'+result) return True elif len(result) >= 4: return False code = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e'] for c in code: result2 = result + c if self.decode_s(result2): return True return False #test secret = 'abde' result = '' decode(secret).decode_s(result)展开1
- 渣渣辉2020-03-18static int sum = 0; public static void compare(char[] t, ArrayList<String> q) { if(q.size()==4) { System.out.println(q); sum+=1; return; } for (int i = 0; i <t.length ; i++) { q.add(String.valueOf(t[i])); compare(t,q); q.remove(q.size()-1); } } public static void main(String[] args) { char[] t = {'a','b','c','d','e'}; compare(t,new ArrayList<String>()); System.out.println(sum); }展开1
- QFann2019-04-29交作业 /** * * @param password 密码组成元素 * @param result 密码可能组合 * @param number 密码个数 */ public static void getPassword(ArrayList<String> password,ArrayList<String> result,int number){ if(result.size() >= number ){ System.out.println(result); return; } for (int i = 0;i < password.size() ; i++){ ArrayList<String> new_result = (ArrayList<String>) result.clone(); new_result.add(password.get(i)); getPassword(password,new_result,number); } }展开1
- suiyueranzly2019-01-07来补作业了,老师 -------------------------代码----------------------------------- /** * 排列 * * @param passwords 待排列的字符 * @param results 排列的结果 ***/ public void range(ArrayList<String> passwords, ArrayList<String> results) { //如果为空则不需要排列 if (passwords.isEmpty()) { String collect = String.join("", results); System.out.print(collect + "\t"); } for (int i = 0; i < passwords.size(); i++) { String password = passwords.get(i); ArrayList<String> newResult = (ArrayList<String>) results.clone(); ArrayList<String> newPassword = (ArrayList<String>) passwords.clone(); newResult.add(password); newPassword.remove(i); range(newPassword,newResult); } }展开
作者回复: 逻辑清晰
1 - 风轨2018-12-28public class Crack { static char[] pwdcs = new char[] { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' }; static String[] crack(int len) { String[] ps = new String[] { "" }; while (len-- > 0) { String[] nps = new String[ps.length * pwdcs.length]; int nsbsi = 0; for (String pwd : ps) { for (char c : pwdcs) { nps[nsbsi++] = pwd + c; } } ps = nps; } return ps; } public static void main(String[] args) { String[] pwds = crack(4); for (String pwd : pwds) { System.out.println(pwd); } /** * 输出结果 * aaaa * aaab * aaac * aaad * aaae * aaba * .... * 省略517行 * .... * eeed * eeee * */ } }展开1
- 高伸2022-08-08 来自北京//递归生成,变量是剩余长度及当前序列,当达到密码长度时记录结果 void generator(int len,const string& passItems,string prePass,vector<string>& passSet){ if(len==0){ passSet.push_back(prePass); return; } for(int i=0;i<passItems.size();++i){ generator(len-1,passItems,prePass+passItems[i],passSet); } }展开
- 0139232022-07-28 来自北京老师讲得好!